Szepesi György 1922-ben Friedländer György néven született Budapesten. Édesapja könyvelő volt. 1930-ban a családfő a Budapesti Kenderfonótól kapott szolgálati lakást a Váci út 197. szám alatt, ahol hat évig éltek.
Szepesi gyerekkori élményei örökre meghatározták a sporthoz való viszonyát. „Ott, a mi környékünkön minden a fociról szólt. Ott volt a hatalmas Tarnai-rét. Ez a legendás dzsumbuj legalább nyolc futball-pályát fogadott magába. Ma is folyékonyan sorolom: ott volt a Vasas, a Wacker, az MTE, a VI. ker. FC, s nem messze a Turul, a Láng és a Magyar Acél pályája... és rajtuk a legtisztább amatőrizmus. A környező gyárak csapatai játszották bajnoki mérkőzéseiket ezeken a pályákon, s a csapatokban pedig a környező gyárak melósai.” A nagyapja vitte el az első „nagy” futballmeccsre, ahol az FTC játszott a Hungáriával. Nem csoda, hogy az angyalföldi gyerekek legfontosabb időtöltése is a foci volt, de Szepesi hamar rájött, hogy bizony vannak nála ügyesebbek is. „Tizenegy évesen a Juta-kölyökben együtt játszottam a Szusza Ferivel – tíz percig. Akkor kiálltam, mert rájöttem, hogy sohasem viszem annyira, mint ő” – emlékezett vissza labdarúgó-karrierjének feladására. A futball iránti szerelem azonban megmaradt.
A Könyves Kálmán Gimnázium is meghatározó volt Szepesi György életében, hiszen ez volt az egyik első olyan középiskola, ahol bevezették a mindennapi testnevelést, és ehhez megvolt a jól felszerelt tornaterem és a nagy iskolaudvar is. Lehetett focizni, kosarazni, atletizálni, tornászni. Szepesi természetesen focizott és kosarazott, sőt a Vívó és Atlétikai Club (VAC) kosárlabdázója is volt egészen a klub 1942-es feloszlatásáig.
1936 őszén a család beköltözött Angyalföldről a pesti Belvárosba, Szepesit pedig új iskolába, a Markó utcában működő Berzsenyi Dániel Gimnáziumba íratták be, ahol 1940 júniusában érettségizett.
Az élete azonban tragikus fordulatot vett, amikor 1943-ban édesapjával együtt munkaszolgálatra hívták be. Hódmezővásárhely, Újvidék, majd Kőrösmező, Moldova voltak a borzalmas út állomásai. Ekkor látta édesapját utoljára. Így emlékezett rá egy interjúban: „Apám Szepesváralján született, innét vettem a nevet. Egészen 85 éves koromig nem tudtam pontosan, hogy apám hol és mikor halt meg. Annyit tudtam csupán, hogy Szőnyből vitték el. A jeruzsálemi Jad Vasem Intézetben azonban megvan apám kartonja, amin pontosan vezették, hogy honnét hová vitték, valamint halálának időpontja és helye: 45 február 14. Buchenwald.”
1944 tavaszán a munkaszolgálatosokat visszavezényelték Máramarosszigetre. Szepesi hazaszökött Budapestre, és a következő időszakot Budapesten bujkálva élte túl a Munkácsy utca 23. számú ház lomokkal zsúfolt garázsában, ahol a házmester családja rejtette el és gondoskodott róla két másik társával együtt. Megmentője, a Kocsis család 1995-ben Jad Vasem-emlékéremben részesült.
Hogyan került az újságírói pályára? A Friedländer család a Népszavát és a Pesti Naplót járatta, a családfő rádiókészüléket is vásárolt, ami egész nap szólt, és benne rendszeresen sugároztak sportközvetítéseket is. Elmondása szerint 1936-ban – a Csillaghegyi Árpád Strandfürdőben – Pluhár István olimpiai közvetítését hallgatva határozta el, hogy rádiós sportriporter lesz, és valóban, az igazi hivatását a sportújságírásban találta meg.
1945-ben lett a Magyar Rádió sportriportere, a háború utáni első magyar–osztrák mérkőzéssel indíthatta páratlan karrierjét. Kezdetben együtt dolgozhatott példaképével, Pluhár Istvánnal, majd Gulyás Gyulával. 1948 és 2012 között közvetítette az olimpiai játékokat, 1954 és 2010 között a labdarúgó-világbajnokságokat. A rendkívül népszerű riportert sokan az Aranycsapat 12. tagjának tartották. Erről így nyilatkozott: „Annak köszönhető, hogy végigkísértem a zsenik útját. Mert ha már tizenkettedik játékos, akkor a szövetségi kapitány Sebes Gusztávot inkább megilleti a titulus, meg mindenkit, aki valóban tett a sikerekért. Magyarán túlzásnak tartom a címet, de ha már adták – nem vagyok álszerény –, tisztelettel köszönöm.”
Legemlékezetesebb futballközvetítései Puskásékhoz kötődnek, ő közvetítette a 6:3-as londoni meccset és az elvesztett berni döntőt is, de hozzá kötődik a marseille-i vereség is („Jönnek a csehszlovákok…”). Számtalan olimpiai siker közvetítője volt, „Lőj, Dömötör, lőj!” – kiáltotta 1964-ben Tokióból a vízilabdadöntő végén, amire az idősebbek még ma is emlékezhetnek.
A Rádió Körkapcsolás című népszerű műsorának egyik szervezője volt, 1963 és 2009 között rádióhallgatók millióihoz juttatta el a magyar sportpályák hangulatát. 1975 és 1978 között a Rádió bonni tudósítójaként dolgozott.
Szepesi György hazatérve 1981-től 1992-ig a Rádió szórakoztató és sportfőosztályát vezette. A Magyar Rádió sportközvetítéseinek történetéről írott doktori disszertációját 1982-ben védte meg a Testnevelési Főiskolán, ahol még 1954-ben szerzett testnevelő tanári diplomát. Számtalan sporttémájú film és könyv szerzője, társszerzője.
1962-től egészen 2000-ig a Magyar Olimpiai Bizottság tagja, majd tiszteletbeli tagja volt. 1995-ben Juan Antonio Samaranch, a Nemzetközi Olimpiai Bizottság elnöke adta át neki az Olimpiai Érdemrendet. 1979-től 1986-ig volt a Magyar Labdarúgó Szövetség (MLSZ) elnöke, majd az MLSZ tiszteletbeli elnöke. 1982 és 1994 között a Nemzetközi Labdarúgó Szövetség (FIFA) elnökségi tagja, majd tiszteletbeli tagja. Puskás után második magyarként 2012-ben megkapta a FIFA legmagasabb kitüntetését, a FIFA Érdemrendet. A világ leghosszabb időn át tevékenykedő sportriportereként bekerült a Guinness rekordok könyvébe.
Szepesi György 2018. július 25-én hunyt el Budapesten. Berzi Sándor, a Magyar Labdarúgó Szövetség alelnöke így emlékezett rá: „Legfőbb érdeme az volt, hogy hozzáértő és szenvedélyes közvetítésein keresztül generációk szerették meg a futballt és a labdarúgókat. Szakértelmének és sportszeretetének köszönhetően sportvezetőként is a legnagyobbak közé emelkedett.”
Szepesi György szobrát 2020-ban Angyalföldön, a Vasas Illovszky Rudolf Stadionja közelében avatták fel.